Hélas, pour l'instant, je n'ai pas le temps de la développer davantage...
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Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Cette première approche des espaces vectoriels permet d'introduire le vocabulaire et sera accompagnée
de nombreux exemples.
Il sera possible, à l'occasion d'autres chapitres en analyse ou probabilité, de rappeler la structure
d'espace vectoriel des ensembles les plus courants, afin de familiariser les étudiants avec le vocabulaire et
les notions fondamentales, avant une étude plus approfondie des espaces vectoriels au second semestre.
Le programme se place dans le cadre des espaces vectoriels sur
$\ob K$.
Les notions de corps, d'algèbre et de groupe sont hors programme.
Structure d'espace vectoriel.
Sous-espaces vectoriels.
Cette étude doit être accompagnée de nombreux exemples issus de l'algèbre (espaces $\ob K^n$ , espaces de polynômes, espaces de matrices), de l'analyse (espaces de suites, de fonctions).
Combinaisons linéaires.
Sous-espace engendré.
On ne considèrera que des combinaisons linéaires de familles finies.
Une famille finie d'un espace vectoriel E est la donnée d'une liste finie $(x_1 , \cdots, x_n)$ de vecteurs de $E$. Le cardinal de cette famille est $n$.
Définition d'une famille libre, d'une famille génératrice, d'une base.
On se limitera à des familles et des bases de
cardinal fini.Exemple de la base canonique de $\ob K^n$.
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Polynômes
La construction des polynômes formels n'est pas au programme, on pourra identi er polynômes et
fonctions polynomiales. Les démonstrations des résultats de ce paragraphe ne sont pas exigibles.
Ensemble $\ob K[X]$ des polynômes à coefficients dans $K$.
Opérations algébriques.
Degré.Par convention $deg(0)= −∞$.
Ensembles $\ob K_n[X]$ des polynômes à coefficients dans $\ob K$ de degré au plus $n$.
Division euclidienne. Multiples et diviseurs.
Racines, ordre de multiplicité d'une racine.Cas du trinôme.
Caractérisation de la multiplicité par factorisation d'une puissance de $(X − a)$.
Théorème de d'Alembert-Gauss.Résultat admis.
Exemples simples de factorisation dans $\ob C[X]$ et
$\ob R[X]$ de polynômes de $\ob R[X]$. Les méthodes devront être indiquées.
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Lois usuelles
Variable aléatoire certaine.
Loi de Bernoulli, espérance et variance.Notation $X \hookrightarrow B(p)$. Variable indicatrice d'un
événement. Notation $\ob 1_A$.
Loi binomiale. Notation $X \hookrightarrow B(n, p)$ .
Coefficients binomiaux, notation ${n\choose p}$. En lien avec le programme de terminale, le nombre ${n\choose p} sera introduit comme le nombre de chemins réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions dans un arbre binaire.
Formule du triangle de Pascal.
Formules ${n\choose p} = {n!\over p!(n-p)!}$ ${n\choose p} = {n\choose n-p}$ et ${n\choose p} = {n\F p}{n-1\choose p-1}$
Formule du binôme de Newton donnant $(a+b)^n$ . Lorsque $a$ et $b$ sont strictement positifs, on pourra faire le lien avec la loi $B(n, {a\F a+b})$ .
Espérance et variance d'une variable de loi binomiale.
Loi uniforme sur \[1, n\] , espérance, variance. Application, à l'étude de la loi uniforme sur
$\{a, \cdots,b\}$ , où $(a, b) ∈ Z^2$ . Notation $X \hookrightarrow U(\{a,\cdots, b\})$ .
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Variables aléatoires réelles
On introduit dans cette section la notion de variable aléatoire réelle définie sur un univers fini. Les
variables aléatoires sont alors à valeurs dans un ensemble fini, ce qui simplifie la démonstration des
formules.
Une variable aléatoire réelle sur $(Ω, \mc P(Ω))$ est une application de $Ω$ dans $R$. On adoptera les notations habituelles telles que $[X ∈ I]$ , $[X = x]$ , $[X \le x]$ , etc.
Système complet associé à une variable aléatoire.
Fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$. F X (x) = P (X \le x) .
Loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle.
ariable aléatoire $Y = g(X)$ , où $g$ est définie
sur $X(Ω)$ . Étude de la loi de $Y = g(X)$ .La fonction de répartition caractérise la loi
d'une variable aléatoire.
On se limitera à des cas simples, tels que
$g(x) = ax + b$ , $g(x) = x^2$ , . . .
Espérance d'une variable aléatoire. $E(X) = \sum_{x\in X(\Omega)} xP(X=x)$
Théorème de transfert. $E(g(X)) = \sum_{x\in X(\Omega)} g(x)P(X=x)$ Théorème admis.
$E(aX + b) = aE(X) + b$.
Variance et écart-type d'une variable aléatoire. Notations $V(X)$ et $σ(X)$.
Cas particulier où $V (X) = 0$ .
Calcul de la variance. Formule de Koenig-Huygens : $V (X) = E(X^2) − E(X)^2$ .
$V (aX + b) = a^2 V (X)$ .
Variables centrées, centrées réduites. Notation $X^*$ pour la variable aléatoire centrée réduite associée à X
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Intégration sur un segment
La construction de l'intégrale de Riemann est hors programme.
Primitive d'une fonction continue sur un intervalle.
Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle.Résultat admis.
Intégrale d'une fonction continue sur un segment
Si $f$ est continue sur un intervalle I , pour tout $(a, b) ∈ I^2$ , on définit l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ par
$
\int f_a^b f(t) \dt = F(b) − F (a)
$ où $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ . Cette définition est indépendante du choix de la primitive $F$ de $f$ sur $I$.
Relation de Chasles.
Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.
Linéarité, relation de Chasles, positivité et croissance. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $a \le b$ ,$$\left|\int_a^b f(t)\d t\right|\le \int_a^b |f(t)|\d t $$
Cas d'une fonction continue, positive sur $[a, b]$ et d'intégrale nulle.
Intégration par parties.
Changement de variable. Les changements de variable non affines devront
être indiqués aux candidats.
Sommes de Riemann à pas constant. La convergence des sommes de Riemann ne sera démontrée que dans le cas d'une fonction de classe $\mc C^1$ .
Interprétation de l'intégrale en termes d'aire.
Nombres complexes
L'objectif de l'étude des nombres complexes est d'aboutir au théorème de d'Alembert-Gauss et à la factorisation dans
$\ob R[X]$ et $\ob C[X]$ de polynômes à coefficients réels. La construction de $\ob C$ est hors programme et les acquis de la classe de terminale seront complétés. On évitera toute manipulation trop technique faisant intervenir les nombres complexes. Les résultats concernant les racines n-èmes de l'unité ne sont pas exigibles des étudiants.
Notation algébrique d'un nombre complexe,
partie réelle et partie imaginaire.
Conjugué d'un nombre complexe.
Notation exponentielle. Module, argument.
Formules d'Euler et de Moivre.
On donnera l'interprétation géométrique d'un nombre complexe.
Brève révision de la trigonométrie.
Formules donnant $\cos(a + b)$ et $\sin(a + b)$.
Les racines n -èmes de l'unité pourront être étudiées comme exemples d'utilisation de la notation exponentielle.
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Dérivation
Dérivées à gauche et à droite.
Dérivée en un point.Interprétation graphique.
Linéarité de la dérivation, dérivée d'un produit,
dérivée d'une composée. Exemples.
Fonctions dérivables sur un intervalle, fonction dérivée.Notation $f'$.
Dérivée d'un polynôme.
Dérivation des fonctions réciproques.
Théorème de Rolle.
Égalité et inégalités des accroissements finis.(1) Si $m\le f'\le M$ sur un intervalle $I$, alors :
$∀(a, b) ∈ I^2 , a \le b ,m(b − a) \le f (b) − f (a) \le M (b − a)$.
(2) Si $|f'| \le k$ sur un intervalle $I$ , alors :
$∀(a, b) ∈ I^2 , |f (b) − f (a)| \le k|b − a|$.
Application, sur des exemples, à l'étude de
suites récurrentes du type : $u_{n+1} = f (u n )$. Tout exposé théorique sur les suites récurrentes générales est exclu.
Caractérisation des fonctions constantes et monotones par l'étude de la dérivée.Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle
$I$ et si $f'\ge 0$ sur $I$ , $f'$ ne s'annulant qu'en un
nombre fini de points, alors $f$ est strictement
croissante sur $I$ .
Définition et dérivation de la fonction $\arctan$. L'étude de cette fonction se limitera strictement à ces deux points.
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VI.1 Probabilités sur un univers fini
L'objectif de cette première approche est de mettre en place un cadre simplifié mais formalisé dans
lequel on puisse mener des calculs de probabilités sans difficulté théorique majeure.
Dans la continuité du programme de terminale, l'étude préalable du cas fini permettra de consolider
les acquis et de mettre en place, dans des situations simples, les concepts probabilistes de base, en ne
faisant appel qu'aux opérations logiques et arithmétiques élémentaires. C'est pourquoi, pour le premier
semestre, on se restreindra à un univers $Ω$ fini, muni de la tribu
$\mc P(Ω)$ .
On évitera pour cette première approche un usage avancé de la combinatoire, et l'on s'attachera à
utiliser le vocabulaire général des probabilités.
Généralités
Observation d'une expérience aléatoire - Événements
Expérience aléatoire.On dégagera ces concepts à partir de l'étude de quelques situations simples.
Univers Ω des résultats observables, événements. Opérations sur les événements, événements incompatibles. On fera le lien entre ces opérations et les connecteurs logiques.
Système complet d'événements fini.Une famille $(A_i)_{i∈I}$, où $I$ est un sous-ensemble
fini de $\ob N$ , est un système complet si elle vérifie les conditions deux suivantes :$A_i\cap A_j=\emptyset$ et $\cup_{i\in I}A_i=\Omega$
Probabilité
Définition d'une probabilité sur $\mc P(Ω)$. Une probabilité sur $\mc P(Ω)$ est une application additive $P$ à valeurs dans $[0, 1]$ et vérifiant $P(Ω) =1$. Cas de l'équiprobabilité.
Notion d'espace probabilisé.Lors du premier semestre, on se restreindra à la
tribu $\mc P(Ω)$.
Formule de Poincaré ou du crible pour deux et trois événements.
Probabilité conditionnelle
Probabilité conditionnelle. Notation $P_A$ . $P_A$ est une probabilité.
$(Ω, \mc P(Ω), P_A )$ est un espace probabilisé.
Formule des probabilités composées. Si $P(A)\neq 0$, $P(A\cap B) = P(A)P_A(B)$. Si $P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}) \neq 0$ alors $P\left(\cap_{i=1}^nA_i\right)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_
{n-1}}(A_n)$.
Formule des probabilités totales. Si $(A_i)_{i∈I}$ est un système complet fini, alors pour
tout événement B on a $$
P(B) = \sum_{i\in I}P(B\cap A_i)
$$
Formule de Bayes. On donnera de nombreux exemples d'utilisation
de ces formules.
a
Indépendance en probabilité
Indépendance de deux événements. Si $P (A) \neq 0$ , $A$ et $B$ sont indépendants si et
seulement si $P_A (B) = P (B)$ .
On remarquera que la notion d'indépendance
est relative à la probabilité.
Indépendance mutuelle de $n$ événements.
Si $n$ événements $A_1, \cdots, A_n$ sont mutuellement indépendants, il en est de même pour les événements $B_i$ , avec $B_i = A_i$ ou $A_i$.
III.2 Systèmes linéaires
Tout développement théorique est hors programme.
Définition d'un système linéaire.
Écriture matricielle d'un système linéaire.
Système homogène. Système de Cramer.
Résolution d'un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.La méthode sera présentée à l'aide d'exemples.
On adoptera les notations suivantes pour le codage des opérations élémentaires sur les lignes :
$L_i ← L_i + aL_j$ avec $i\neq j$,
$L_i ← aL_i$ avec $a\neq 0$,
$L_j ↔ L_i$,
$L_i ← aL_i + bL_j$ ($a\neq 0$, $i\neq j$) .
Calcul de l'inverse de la matrice A par la réso-lution du système $AX = Y$.
Inversibilité des matrices triangulaires, diagonales.
I.3. Ensembles applications
a. Ensembles, parties d'un ensemble
Appartenance. Inclusion. Notations $∈$, $⊂$.
Ensemble $P(E)$ des parties de $E$.
Complémentaire. Notation $\overline A$.
Union, intersection. Notations $\cap$, $\cup$.
Distributivité. Lois de Morgan.
Définition du produit cartésien d'ensembles.
On pourra donner l'exemple de $P(\{1, \cdots , 6\})$
afin de faciliter l'introduction de la notion de
tribu.
La notation $\overline A$ est à privilégier. En cas d'ambiguïté, on utilisera la notation $\complement ^A_E$
On fera le lien entre les opérations ensemblistes et les connecteurs logiques usuels.
On introduira les notations $R^2$ et $R^n$.
Applications
Définition. Composée de deux applications.
Restriction et prolongement d'une application.
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Ces deux notions ne seront introduites que dans
les cours d'algèbre linéaire et d'analyse.
On pourra donner des exemples issus du cours
d'analyse.
V.2. Étude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle
Fonctions paires, impaires, périodiques.
Fonctions majorées, minorées, bornées, monotones.
Théorème de limite monotone.Toute fonction monotone sur $]a, b[$ $(−∞\le a < b \le +∞ )$ admet des limites
finies à droite et à gauche en tout point de $]a, b[$ .
Comportement en $a$ et $b$ .
Fonctions continues sur un intervalle, opérations algébriques, composition.
Fonction continue par morceaux.Une fonction $f$ est continue par morceaux
sur le segment $[a, b]$ s'il existe une subdivision
$a_0 = a < a 1 < \cdots < a_n = b$ telle que les restric-
tions de $f$ à chaque intervalle ouvert $]a_i , a_{i+1} [$ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé $[a_i , a_{i+1}]$.
On exclut toute étude approfondie des fonctions continues par morceaux.
Théorème des valeurs intermédiaires.
L'image d'un intervalle (respectivement un segment) par une fonction continue est un intervalle (respectivement un segment).Notations $\max_{[a,b]}f$ et $min_{[a,b]} f$ .
Théorème de la bijection.Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I définit une bijection de
$I$ sur l'intervalle $f(I)$. Sa bijection réciproque est elle-même continue et a le même sens de variation.
On utilisera ce résultat pour l'étude des équations du type $f (x) = k$.
En liaison avec l'algorithmique, méthode de dichotomie.
Représentation graphique de la fonction réciproque.
V.1. Limite et continuité d'une fonction d'une variable en un point
Définition de la limite et de la continuité d'une fonction d'une variable en un point.
Unicité de la limite.
Limites à droite et à gauche.
Extension au cas où f est définie sur $I\_m\{x_0 \}$.
Extension de la notion de limite en $±∞$ et auxcas des limites infinies.
On adoptera la définition suivante : $f$ étant une
fonction définie sur $I$ , $x_0$ étant un élément de $I$ ou une extrémité de $I$ , et $\ell$ un élément de $\ob R$,
on dit que $f$ admet $\ell$ pour limite en $x_0$ si, pour tout nombre $ε > 0$ , il existe un nombre $α > 0$ tel
que pour tout élément $x$ de $I ∩ [x_0 − α, x_0 + α]$ ,
$|f (x) − \ell| \le ε$ ; ainsi, lorsque $x_0$ appartient à $I$ ,
$f$ est continue en $x_0$ , sinon $f$ se prolonge en une
fonction continue en $x_0$ .
Opérations algébriques sur les limites.
Compatibilité avec la relation d'ordre.
Existence d'une limite par encadrement.
Prolongement par continuité en un point.
Si $f$ admet une limite $\ell$ en $x_0$ et si $(u_n)$ est une suite réelle définie sur $I$ et tendant vers $x_0$, alors
$(f (u_n ))$ tend vers $\ell$. La caractérisation séquentielle de la limite n'est
pas au programme.
Limite d'une fonction composée.
III.1. Calcul matriciel
Matrices rectangulaires
Ensemble $\mc M_{n,p}(\ob K)$ des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $ \ob K$.
Opérations dans $\mc M_{n,p}(\ob K)$.
Produit matriciel.
Transposée d'une matrice.
Transposition d'un produit.
Addition, multiplication par un scalaire.
On pourra faire le lien entre le produit $AB$ et le
produit de $A$ avec les colonnes de $B$.
Notation $\strut^t A$.
Cas des matrices carrées
Ensemble $\mc M_n(\ob K)$ des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $\ob K$.
Matrices triangulaires, diagonales, symétriques, antisymétriques.
Matrices inversibles, inverse d'une matrice.On admettra que pour une matrice carrée, un
inverse à gauche ou à droite est l'inverse.
Ensemble $\mc GL_n(\ob K)$.
Inverse d'un produit. Transposition de l'inverse.
Formule donnant l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 .
VI.4. Compléments de combinatoire
Dénombrement des ensembles suivants :
• parties d'un ensemble à $n$ éléments ;
• parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments ;
• $p$ -listes d'un ensemble à $n$ éléments ;
• $p$ -listes d'éléments distincts d'un ensemble à
$n$ éléments ;
• permutations d'un ensemble à $n$ éléments.
On fera le lien entre les parties à $p$ éléments d'un
ensemble à $n$ éléments et le nombre de chemins
d'un arbre réalisant $p$ succès pour $n$ répétitions.
On pourra utiliser la représentation arborescente d'un ensemble de $p$ -listes dans les pro-
blèmes de dénombrement.
I.1. Elements de logique
L'objectif est d'acquérir le vocabulaire élémentaire des raisonnements mathématiques, mais tout exposé
théorique est exclu. Les notions de ce paragraphe pourront être présentées en contexte au cours du
semestre, évitant ainsi une présentation trop formelle.
Connecteurs : et, ou, non, implication, réciproque, contraposée.
Quantificateurs : ∀, ∃.
On présentera des exemples de phrases mathématiques utilisant les connecteurs et les quantificateurs, et on expliquera comment écrire leurs négations.
IV.3. Convergence des suites réelles - Théorèmes fondamentaux
Limite d'une suite, suites convergentes. On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient les $u_n$ pour tous les indices $n$, sauf pour un nombre fini d'entre eux.
On donnera une définition quantifiée de la limite $\ell$ (traduction en $ε, n_0$) sans en faire une utilisation systématique.
Généralisation aux suites tendant vers $±∞$.
Unicité de la limite.
Opérations algébriques sur les suites convergentes.
Compatibilité du passage à la limite avec la relation d'ordre.
Existence d'une limite par encadrement.
Suites monotones, croissantes, décroissantes,suites adjacentes.
Théorème de limite monotone.Toute suite croissante majorée (respectivement décroissante minorée) converge, la limite étant
la borne supérieure (respectivement inférieure)
de l'ensemble des valeurs de la suite.
Une suite croissante non majorée (respective-
ment décroissante non minorée) tend vers $+∞$ (respectivement $−∞$).
Deux suites adjacentes convergent et ont même limite.
Rappel des croissances comparées.Comparaisons des suites $(n!)$, $(n^a)$, $(q^n)$, $(ln(n)^b)$ .
IV.2 Exemples de suites réelles
Suites arithmético-géométriques. On se ramenera au cas d'une suite géométrique.
Suites vérifiant une relation linéaire de récurrence d'ordre 2 à coefficients réels.
Équation caractéristique. Cette partie pourra être l'occasion d'illustrer,
dans un cas concret, les notions de famille libre,
génératrice et de base. Dans le cas de racines
complexes conjuguées $α$ et $\overline α$ , on pourra introduire les suites $(\Re e(α^n ))$ et $(\Im m(α^n ))$.
IV.1 Vocabulaire sur l'ensemble $\ob R$ des nombres réels
Valeur absolue. Inégalité triangulaire.
Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure d'une partie non vide de $\ob R$.Quand il existe, le maximum de $A$ coincide avec
la borne supérieure de $A$.
Théorème de la borne supérieure. Résultat admis.
Partie entière d'un réel. Notation $\lfloor x\rfloor$ . La notation $E(\cdot)$ est réservée à l'espérance mathématique.
I.2. Raisonnement par récurrence et calcul de sommes et de produits (Semaine 2)
Emploi du raisonnement par récurrence. Tout exposé théorique sur le raisonnement par récurrence est exclu.
Formules donnant : $\ds\sum_{k=0}^nq^k$ et $\ds\sum_{k=1}^nk$.
Exemple : formules donnant $\ds\sum_{k=1}^nk^2$ et $\ds\sum_{k=1}^nk^3$.
Notations $\sum$, $\prod$. Définition de $n!$
Les étudiants doivent savoir employer les notations $\ds\sum_{i=1}^nu_i$ et $\ds\sum_{i\in A}u_i$ où A désigne un sous-ensemble de $\ob N$ ou $\ob N^2$.
Révisions (Semaine 1) : fractions, inégalités, égalités, ensembles de définition...